INDICE LA DINAMICA 1.01 - Cifre significative e notazione scientifica 1.02 - Le Forze 1.03 - Le forze di contatto: l’attrito 1.04 - Le forze a distanza: Forze fondamentali 1.05 - Corpi in equilibrio 1.06 - Il momento di una forza 1.07 - Il momento di una coppia di forze 1.08 - Forze che agiscono su un corpo rigido 1.09 - L’equilibrio di un corpo rigido 1.10 - Macchine semplici e leve 1.11 - Sistemi di riferimento inerziali e il principio di relatività galileiana 1.12 - Il primo principio della dinamica 1.13 - Effetto delle forze sui corpi rigidi, e secondo principio della dinamica 1.14 - Il terzo principio della dinamica 1.15 - Le molle 1.16 - 1.17 - 1.18 - 1.19 - Dal sito matematicamente.it 1.01 - Cifre significative e notazione scientifica Cifre significative e notazione scientifica Quando si effettuano misurazioni, in particolare modo misurazioni indirette, capita che il risultato che otteniamo sia un numero decimale, e che abbia molte cifre dopo la virgola. Ovviamente, non possiamo riportarle tutte quando esprimiamo il risultato, quindi dobbiamo stabilire dei criteri per arrotondare il risultato alla cifra decimale più adatta. Vediamo, quindi, quali sono i criteri per esprimere il risultato di una misurazione nel migliore dei modi. Criteri di arrotondamento Un numero decimale che contiene molte cifre dopo la virgola può essere arrotondato prendendo solo un certo numero di cifre, in base a come richiesto (per esempio una, due o tre cifre), per eccesso o per difetto. Generalmente, si arrotonda per difetto se la cifra che segue l’ultima che dobbiamo prendere è minore di cinque. Ad esempio, se dobbiamo arrotondare il numero decimale 2,5462443 alla terza cifra decimale, poiché la quarta cifra è due, arrotondiamo per difetto, e scriviamo 2,546. Altrimenti, se la cifra successiva a quella cui dobbiamo fermarci è maggiore o uguale a cinque si arrotonda per eccesso. Considerando il numero dell’esempio precedente, se dobbiamo prendere il valore con due cifre decimali, poiché la terza cifra è sei, arrotondiamo per eccesso, e scriviamo 2,55. Cifre significative Quando esprimiamo una misura con il rispettivo errore, alcune cifre di quel valore sono certe, cioè esatte, perché non risentono dell’incertezza della misura; altre, invece, possono oscillare in un determinato intervallo, a seconda dell’errore corrispondente. Ad esempio, se la nostra misura vale (345 ± 3) cm, la cifre delle decine e quella delle centinaia sono certe, mentre quella delle decine è incerta, perché può variare tra 2 e 8 (il risultato, infatti, può variare tra 342 cm e 348 cm). Esempio di grandezza che presenta due cifre certe e una cifra incerta Possiamo definire le cifre significative come il numero minimo di cifre che ci permettono di esprimere un risultato con la relativa precisione, ed in particolare sono le cifre certe e la prima cifra incerta. Tutti i numeri sono cifre significative, ma dobbiamo fare attenzione quando abbiamo a che fare con gli zeri; si seguono infatti queste regole: - se gli zeri sono compresi tra altri numeri, come nel caso di 32004, si considerano come cifre significative; - se gli zeri si trovano all’inizio di un numero, come in 0,0032, non sono considerati cifre significative; - se gli zeri si trovano alla fine di un numero, allora: - se è presente la virgola, come in 320,0, tutti gli seri sono cifre significative; - se non è presente la virgola, come in 3200, non sono considerati cifre significative. La notazione scientifica La notazione scientifica permette di esprimere le misure di alcune grandezze in modo da poter essere utilizzata più facilmente. Infatti quando abbiamo a che fare con valori particolarmente grandi (distanze tra pianeti, numeri di particelle) o particolarmente piccoli (massa o distanze tra particelle elementari) è difficile fare operazioni, in quanto i valori sono composti da molte cifre. Per questo, se esprimiamo i valori come prodotto di un coefficiente compreso tra 1 e 10, ed una potenza di 10, possiamo operare con molta facilità. Ad esempio, il diametro del Sole misura 1 400 000 000 m, e possiamo esprimere questa misura come 1,4 * 109 m. Il diametro dell’atomo di idrogeno misura 0,000 000 0001 m, che può essere espresso come 1,0 * 1010 m. In generale, la potenza del 10 che dobbiamo moltiplicare è uguale al numero di “salti” che fa la virgola quando ci spostiamo verso destra o verso sinistra nel numero. Ordine di grandezza L’ordine di grandezza di una misura ci permette di confrontare velocemente due grandezze, e stabilire quale di essa sia la più grande, o la più piccola. Definiamo l’ordine di grandezza come la potenza del 10 che si avvicina maggiormente al valore della nostra misura. Riprendendo gli esempi precedenti, sappiamo che il diametro del sole misura 1,4 * 109 m, quindi il suo ordine di grandezza è 109 m. Il diametro della Terra, invece, misura circa 1,3* 107, quindi il suo ordine di grandezza è 107. Possiamo asserire con facilità che il Sole ha un diametro molto più grande del nostro pianeta.
1.02 - Le Forze Introduzione Generalmente, il concetto di forza richiama l’idea dello sforzo muscolare; questo ci permette di sollevare un oggetto pesante, di tendere una molla, di correre, o di trascinare un corpo. Esistono, però, molti altri tipi di forze che provocano effetti sui corpi, e non sono legate allo sforzo muscolare, ad esempio la forza che spinge due magneti ad attrarsi. Definiamo, innanzitutto, due tipi di forze, quelle di contatto e quelle a distanza: - le forze di contatto sono forze che si applicano quando due corpi vengono, appunto, in contatto tra loro; (ad esempio, la forza che esercitiamo per spostare un corpo, o la forza del vento che muove una bandiera); - le forze a distanza sono quelle forze che, invece, agiscono su due corpi a distanza; (la forza attrattiva tra due calamite, la forza di gravità); Le forze possono essere applicate su oggetti in movimento, o su oggetti fermi, e quindi possono provocare effetti differenti sui corpi. In particolare, una forza può cambiare la velocità di un corpo. Ad esempio, spingendo una sfera inizialmente ferma, aumenteremo la sua velocità, poiché questa comincerà a muoversi; al contrario, se ci poniamo di fronte ad una sfera in movimento, ed esercitiamo una forza su di essa, provocheremo i suo arresto. Le forze come vettori Può capitare, però, che anche se si applicano delle forze ad un corpo, esso rimanga fermo. Ad esempio, nel gioco del tiro alla fune, se le squadre sono ben bilanciate e ognuna di esse tira la fune con la stessa forza, il fazzoletto centrale rimane fermo. Questo accade perché sul corpo in questione agiscono più forze che si annullano, così che la risultante delle forze applicate sul corpo è nulla. Possiamo spiegare questo fenomeno perché la forza può essere descritta come vettore. Per descrivere una forza, infatti, occorrono le seguenti informazioni: - la direzione, cioè la retta lungo la quale agisce la forza; - il verso, cioè l’orientazione, lungo la retta, verso la quale punta il vettore; - l’intensità, cioè la misura quantitativa della forza, che può essere ottenuta mediante uno strumento detto dinamometro. (Il dinamometro è costituito da un cilindro con una scala graduata, all’interno del quale è posta una molla; applicando una forza all’estremità della molla, questa si tende; misurando l’entità dell’allungamento della molla si può risalire all’intensità della forza. Forze uguali, quindi, provocano allungamenti uguali); - il punto di applicazione, cioè il punto iniziale su cui viene applicata la forza. Intensità, direzione e verso del vettore forza Per spiegare, quindi, come mai un corpo può rimanere fermo nonostante vi si applichino delle forze, ricordiamo le proprietà della somma tra vettori; se le forze agiscono lungo la stessa direzione (come nel caso del tiro alla fune) la forza risultante è data dalla somma algebrica delle intensità delle relative forze; il segno di queste è dato dal loro verso; forze che hanno verso opposto hanno anche intensità di segno opposto. Tornando all’esempio del tiro alla fune, le forze applicate possono essere schematizzate come segue: Forze di uguale modulo e stessa direzione, ma verso opposto Se il punto centrale della corda rimane fermo, le due forze hanno la stessa intensità; si ha quindi che la forza totale (risultante) è nulla: F_R = F_1 + (-F_2) = 0 Nel caso in cui le forze non avessero la stessa direzione, possono essere sommate con il metodo punta-coda, o con il metodo del parallelogramma. Nel sistema internazionale l’unità di misura della forza è il Newton (N); esso si definisce come l’intensità della forza-peso con cui la terra attrae un corpo di massa uguale a 102 g. Possiamo esprimere il Newton anche con una definizione alternativa. 1 Newton corrisponde alla quantità di forza necessaria per imprimere ad un corpo di 1 kg un’accelerazione di un metro al secondo quadrato: 1 N = frac (1 kg * m)(s2)
1.03 - Le forze di contatto: l’attrito Introduzione Esaminiamo alcuni tipi di forze fondamentali, con le quali abbiamo a che fare ogni giorno, anche se magari non ce ne accorgiamo. Per cominciare, distinguiamo due tipologie di forze, quelle di contatto e quelle a distanza. Le prime sono forze che possiamo riconoscere facilmente, in quanto avvengono se vi è un contatto tra il corpo che esercita l’azione e quello che la subisce; ad esempio, nel caso di un pallone che viene fatto rotolare. Delle seconde, invece, possiamo solo notare gli effetti, in quanto si hanno senza che vi sia un contatto tra due corpi; ad esempio nel caso di una calamita che attrae un oggetto metallico. Esaminiamo alcuni tipi di forze di contatto. La forza di attrito La forza di attrito è una forza di contatto che si oppone al movimento di un corpo; se rappresentata come vettore, la forza di attrito ha direzione contraria a quella del movimento del corpo. Questo tipo di forza rappresenta un fenomeno microscopico; infatti, l’attrito è dovuto al fatto che, anche se all’apparenza due superfici sembrano perfettamente lisce, in realtà esse presentano delle irregolarità, che incastrandosi tra loro ostacolano il movimento di una superficie sull’altra. Ingrandimento del punto di contatto tra due corpi Distinguiamo tre tipi di forze di attrito: - la forza di attrito radente: è la forza che si esercita tra due superfici che vengono in contatto; questa forza, per esempio, ci permette di camminare, in quanto si esercita tra la suola delle nostre scarpe e il terreno; ci permette quindi di spostarci in avanti. - la forza di attrito volvente: è la forza che si esercita quando un corpo rotola su una superficie, per esempio nel caso delle ruote di un’automobile; - la forza di attrito viscoso: è la forza che si esercita quando un corpo si muove in un fluido, come nel caso di un aereo che subisce l’impatto dell’aria. La forza di attrito radente, in particolare, può essere statica, quando le irregolarità microscopiche tra due superfici ferme ostacolano il loro movimento, o dinamica, quando invece le irregolarità oppongono resistenza al moto di due superfici che già si muovono. L’attrito radente statico La forza di attrito statico può essere presente anche se nessuno dei due corpi che sono a contatto si muove. Per esempio, se tentiamo di spostare un armadio molto pesante, esercitando una forza su di esso, questo continuerà a rimanere fermo. Questo accade sull’armadio agisce un’alta forza, la forza peso, che lo attrae al suolo, e la nostra forza non è sufficiente a vincerla. Se, però, tre uomini provassero a spostare tale armadio, probabilmente questo si muoverebbe. Aumentando la forza esercitata, quindi, possiamo vincere la forza peso dell’armadio. Chiamiamo, quindi, forza al distacco la forza minima che occorre per mettere in moto un oggetto fermo; tale forza è direttamente proporzionale alla forza premente (forza peso), e il suo modulo è dato dalla formula: F_s = µ_s * F_⊥ Dove µ_s indica un numero puro, il coefficiente di attrito statico. Forze agenti su un corpo in equilibrio statico Notiamo che la forza di attrito statico non dipende dall’area di contatto delle superfici; essa è parallela alla superficie di contatto e il suo verso si oppone al movimento. L’attrito radente dinamico L’attrito radente dinamico è responsabile del fatto che una sfera in movimento su un piano è destinata, prima o poi, a fermarsi. Questa forza, quindi, ha verso che si oppone al verso del movimento del corpo, direzione parallela al piano, e modulo direttamente proporzionale a quello della forza premente, e dato dalla formula: F_s = µ_d * F_⊥ Dove µ_d indica, anche in questo caso, un numero puro, il coefficiente di attrito dinamico. Forze agenti su un corpo in movimento
1.04 - Le forze a distanza: Forze fondamentali Le forze fondamentali I fenomeni fisici naturali avvengono principalmente grazie a tre tipi forze fondamentali; queste sono le forze nucleari, la forza elettromagnetica e la forza gravitazionale. Queste forze sono forze a distanza, agiscono quindi senza che vi sia contatto tra due corpi; sono forze che non possiamo “vedere” direttamente, ma ne sentiamo gli effetti. Le forze nucleari Le forze nucleari riguardano, come dice il nome stesso, l’interno dell’atomo, e in particolare il suo nucleo. Queste forze si dividono in due tipi, la forza nucleare forte, e la forza nucleare debole. La forza nucleare forte è una forza attrattiva, ed è la forza che tiene uniti protoni e neutroni all’interno del nucleo atomico; è una forza molto potente, che riesce a vincere le forze repulsive protone-protone, ed è inversamente proporzionale alla distanza tra le particelle. La forza nucleare debole, invece, riguarda reazioni nucleari, ed è responsabile delle reazioni di fusione nucleare che avvengono all’interno delle stelle; in particolare, riguarda il processo di trasformazione di un protone in un neutrone con emissione di un elettrone e un neutrino. La forza elettromagnetica La forza elettromagnetica è la forza che agisce tra due oggetti carichi, cioè che possiedono carica elettrica. Questa forza si manifesta sia in eventi atmosferici, come i fulmini e i lampi, sia in fenomeni microscopici, come i legami tra gli atomi e le molecole. In particolare, la forza elettrica è attrattiva nel caso di cariche con segni opposti, e repulsiva nel caso di cariche con segni uguali: Forza elettrica nel caso di cariche dello stesso segno e segno opposto Inoltre, l’intensità della forza elettrica aumenta con l’aumentare delle cariche, e diminuisce all’aumentare della distanza tra esse. La forza elettrica, nel caso in cui le cariche coinvolte siano Q_1 e Q_2, e la distanza tra esse r, si ottiene dalla formula: F_e = k * frac (Q_1 * Q_2)(r2) dove k è una costante. La forza gravitazionale A differenza della forza elettrica, quella gravitazionale è sempre attrattiva, e riguarda tutti i corpi che hanno massa. Forza di attrazione gravitazionale che si esercita tra due masse La formula che permette di determinare la forza gravitazionale è molto simile a quella della forza elettrica; anche in questo caso, infatti, la forza è direttamente proporzionale al prodotto delle masse, e inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza: F_g = G * frac (m_1 * m_2)(r2) dove G è una costante, detta costante di gravitazione universale. La forza gravitazionale è la più debole delle forze appena menzionate, ma i suoi effetti sono particolarmente evidenti; nel caso di masse molto grandi, come quelle dei pianeti, tale forza, determina il moto attorno al Sole. La forza gravitazionale si definisce forza-peso nel caso in cui ci si riferisce all’attrazione tra il pianeta Terra e gli oggetti che si trovano su di esso. La forza-peso agisce lungo la verticale del luogo in cui si trova il corpo; la sua direzione, quindi, è perpendicolare al piano in cui giace il corpo, rivolta verso il basso. Essa è ripartita su tutto il volume del corpo, in quanto agisce su tutte le particelle che lo costituiscono; tutta via si suppone, per semplicità, che sia una forza puntuale, cioè applicata in un solo punto, detto baricentro. La forza-peso è direttamente proporzionale alla massa di un corpo, e può essere ottenuta dalla seguente formula: F_p = m*g dove g è una costante, e vale 9,8 N/kg; poiché il Newton può essere espresso come la forza necessaria per imprimere ad in corpo di 1 kg un’accelerazione di un metro al secondo quadrato, possiamo affermare che la costante g ha le dimensioni fisiche di un’accelerazione, quindi si ha g = 9,8 m/s2 La costante g varia da pianeta a pianeta; questo spiega perché il peso di un corpo cambia se ci troviamo sulla Terra o su Marte, dove g = 3,74 N/kg. Ricordiamo, però, che ciò che varia è il peso (forza-peso); la massa, invece, indica la quantità di materia che costituisce un corpo e rimane costante.
1.05 - Corpi in equilibrio Il concetto di equilibrio Il concetto di equilibrio può essere facilmente compreso, in quanto si presenta in molti aspetti della vita quotidiana. Tutti gli oggetti che ci circondano, e che sono fermi a terra (un tavolo, un mobile, un’auto parcheggiata…) sono in equilibrio. Possiamo definire, quindi, il concetto di equilibrio affermando che un corpo è in equilibrio quando è fermo e continua a restare fermo. Il punto materiale Per studiare l’equilibrio dei corpi, cominciamo dal caso più semplice; consideriamo un corpo piccolissimo rispetto all’ambiente circostante, tale da poter essere considerato come un punto. Per questo, ci riferiremo all’oggetto parlando di punto materiale. Ad esempio, può essere considerata punto materiale una biglia che rotola sul pavimento. Il corpo rigido Nel caso degli oggetti quotidiani, però, non sempre è conveniente utilizzare il concetto di punto materiale. Si considera l’oggetto, quindi, come fosse un corpo rigido, cioè che non subisce deformazioni qualunque siano le forze applicate su di esso. Anche il corpo rigido è un modello, in quanto non esistono corpi completamente indeformabili; tuttavia, molti oggetti sono indeformabili se vi si applicano forze poco intense. Le forze vincolari L’equilibrio dei corpi è influenzato in maniera particolare dai vincoli, cioè da oggetti che impediscono all’oggetto in esame di compiere determinati movimenti nello spazio. Per esempio, un quadro appeso al muro è vincolato dal chiodo nella parete, perché senza di esso cadrebbe a terra; il treno che viaggia sui binari è vincolato da essi, perché costretto a seguire quella traiettoria. Questi vincoli possono esercitare delle forze sui corpi; in tal caso le forze prendono il nome di reazioni (o forze) vincolari. Una reazione vincolare è quella che si oppone alla nostra forza peso, permettendoci di rimanere in equilibrio e non cadere verso il basso. Il pavimento, quindi, agisce da vincolo, e la reazione vincolare ha stessa intensità della forza peso, stessa direzione, ma verso opposto. Forza-peso e reazione vincolare del suolo su una persona ferma Le forze che si esercitano sul corpo hanno stessa intensità, stessa direzione, ma verso opposto; per le proprietà della somma vettoriale, la risultante delle forze è nulla, e di conseguenza il corpo rimane in equilibrio. In generale, quindi, un punto materiale rimane in equilibrio se la risultante delle forze che agiscono su di esso è nulla; altrimenti, se la risultante è diversa da zero, il punto non è in equilibrio. Il piano inclinato Un oggetto può essere in equilibrio anche se si trova su un piano inclinato; la forza peso che agisce sul corpo si esercita sia spingendo il corpo lungo il piano, sia tenendolo premuto alla superficie. Per questo, è conveniente scomporre la forza peso nelle sue componenti, che chiamiamo componente parallela (F_(//)) e componente perpendicolare (F_⊥). La forza vincolare (F_v) ha direzione perpendicolare al piano inclinato, e verso rivolto all’esterno di esso; la componente perpendicolare, che è appunto perpendicolare al piano, ha stessa intensità della forza vincolare, stessa direzione e verso opposto. La componente parallela, invece, è parallela al piano, e rivolta verso il basso; per tenere in equilibrio un punto materiale sul piano inclinato, quindi, è necessaria la presenza di una forza che annulli la componente parallela; essa deve essere parallela al piano, e deve avere stessa intensità e verso opposto a quello della componente parallela. La forza prende il nome di forza equilibrante; essa è esercitata dall’esterno del sistema, ed è necessaria per tenere in equilibrio l’oggetto; può essere, ad esempio, la forza di una persona che regge un carrello lungo una salita. Forze agenti su un punto materiale in equilibrio su un piano inclinato Il modulo della forza equilibrante può essere ottenuto dalla seguente formula: F_e = F_p * frac(h)(l) dove, F_p è la forza peso dell’oggetto, h è l’altezza del punto più alto del piano inclinato, e l è la sua lunghezza (se il piano ha forma triangolare, l è l’ipotenusa). Notiamo, quindi, che più è inclinato il piano, cioè maggiore è il rapporto h/l, tanto più grande deve essere la forza da esercitare per mantenere in equilibrio il nostro oggetto.
1.06 - Il momento di una forza Introduzione Nel caso di un corpo rigido, a differenza del punto materiale, non possiamo considerare solo i moti traslazionali, cioè le traslazioni; si devono tenere presenti alcune proprietà dei corpi rigidi. Infatti, essendo un corpo esteso, e non un punto, il corpo rigido può subire l’effetto di una forza in qualunque punto della sua estensione; ciò può provocare effetti diversi. Inoltre, i possibili moti che esso può subire sono differenti: - il moto di traslazione comporta uno spostamento senza che vi sia un cambiamento dell’orientazione nello spazio dell’oggetto; quando subisce questo moto, tutti i punti del corpo rigido si spostano percorrendo la stessa distanza su traiettoria rettilinee; (questo moto si verifica, ad esempio, quando trasciniamo un oggetto); - il moto di rotazione invece fa ruotare l’oggetto senza che esso si sposti dalla posizione iniziale; in questo caso, i punti del corpo rigido percorrono archi di circonferenze concentriche (questo moto si verifica, ad esempio, quando svitiamo un bullone con una chiave inglese). I due moti, poi, possono anche presentarsi insieme. Il moto di rotazione Il moto di rotazione è quello che si ha, ad esempio, quando applichiamo una forza su di una chiave inglese per svitare un bullone; notiamo che agendo con una chiave più lunga lo sforzo da compiere è minore, poiché il bullone ruota più facilmente. Ciò accade perché l’effetto della rotazione non dipende esclusivamente dalla forza che applichiamo e dalla sua intensità; essa dipende anche dal punto di applicazione e dalla direzione della forza. Si definisce braccio di una forza F rispetto ad un punto O la distanza tra il punto O e la retta su cui giace F. In particolare, se chiamiamo r il vettore posizione del punto O rispetto a F, il braccio è dato dalla componente perpendicolare di tale vettore: Braccio di una forza F rispetto ad un punto O Il momento di una forza Il momento di una forza è un vettore che esprime l’effetto di rotazione causato dalla forza stessa. In particolare, il vettore ha le seguenti caratteristiche: - il suo modulo è dato dal prodotto dell’intensità della forza F e il modulo del braccio: M=F·b - la sua unità di misura nel Sistema Internazionale è, quindi, Newton per metro (N·m); - la sua direzione è perpendicolare al piano che contiene il vettore forza e il punto O; il suo verso è dato dalla regola della mano destra: si posizione il pollice sulla congiungente il punto O e il punto di applicazione della forza, e le altre dita nella direzione di F; il verso del momento è quello uscente dal palmo della mano. Regola della mano destra Poiché il momento di una forza è un vettore, le sue proprietà possono essere più semplicemente riassunte dicendo che il momento è uguale al prodotto vettoriale del vettore posizione r e il vettore forza F: \vec M = \vec r xx \vec F Si spiega, quindi, come mai per svitare un bullone con una chiave inglese, e per faticare meno si seguono alcune accortezze; si può applicare una forza molto intensa, o utilizzare uno strumento molto lungo; il momento, infatti, è direttamente proporzionale sia alla forza che al braccio. Se indichiamo con \alpha l’angolo tra i vettori r ed F, possiamo esprimere il loro prodotto vettoriale nel seguente modo: \vec M = \vec r xx \vec F = r * F * sin\alpha Il momento di una forza può essere positivo, negativo o nullo in base al senso di rotazione del braccio. Se il senso è quello orario, il momento viene considerato negativo; se il senso di rotazione è antiorario si avrà un momento positivo. Se, invece, non vi è rotazione, il momento è nullo.
1.07 - Il momento di una coppia di forze Il momento di più forze Se applichiamo su un corpo rigido più forze contemporaneamente, il momento totale delle forze è dato dalla somma dei singoli momenti di ciascuna forza. Quindi, se le forze in questione sono F_1, F_2, …, F_n, e i rispettivi momenti M_1, M_2, …, M_n, il momento totale delle forze è dato da: \vec M_(tot) = \vec M_1 + \vec M_2 + … + \vec M_n = \sum_[ k=1]n \vec M_n Le coppie di forze Su di un corpo possono agire più forze contemporaneamente; quando guidiamo un’automobile e giriamo il volante con entrambe le mani, le forze che agiscono sul volante sono due; si ha dunque una rotazione di esso. In particolare, nel caso di due forze che hanno la stessa intensità, possono verificarsi due fenomeni; se le forze agiscono sulla stessa retta d’azione e hanno verso opposto, la risultante delle forze è nulla; quindi il corpo non trasla e non ruota, ma rimane fermo. Infatti, in questo caso, le due forze producono momenti che hanno stesso modulo, ma segno opposto; il momento totale delle forze è quindi nullo. Altrimenti, se le due forze, che hanno la stessa intensità e verso opposto non hanno la stessa retta d’azione, allora esse producono una rotazione sul corpo su cui agiscono, come nel caso del volante. Infatti, in questo caso, il momento totale delle forze è diverso da zero, in quanto entrambe le forze producono un momento dello stesso segno, e che quindi fa ruotare il corpo nello stesso verso. Una coppia di forze può far ruotare un oggetto, come nel caso del volante di un’automobile; ciò accade perché il momento della coppia è diverso da zero Coppia di forze Una coppia di forze consiste in due forze F_1 e F_2, di uguale intensità, ma opposte, applicate in due punti diversi di un corpo rigido. Come nel caso di una singola forza, anche per la coppia di forze il momento descrive l’entità dell’effetto che la forza provoca sull’oggetto, in questo caso la rotazione; il momento di una coppia di forze si ottiene sommando i momenti delle singole forze calcolate rispetto ad uno stesso punto; esso dipende, quindi, dalle forze applicate e dalla loro distanza. In particolare, il momento della coppia è indipendente dal particolare punto di applicazione. Definiamo, inoltre, braccio della coppia la distanza tra le due rette d’azione delle forze; il momento della coppia, quindi, è un vettore che ha: - intensità uguale al prodotto dell’intensità di una delle forze e la lunghezza del braccio: M=F·b; - direzione perpendicolare al piano che contiene le forze; - verso dato, anche in questo caso, dalla regola della mano destra, considerando, però, solo una delle due forze, e calcolando il momento rispetto al punto di applicazione dell’altra. Regola della mano destra per una coppia di forze Senso di rotazione Anche in questo caso, l’effetto della rotazione provocato dalle due forze può avvenire in senso orario o antiorario; ciò dipende dalla direzione in cui agiscono le forze. Per convenzione, si considera positivo il momento che produce una rotazione antioraria; nel caso di una rotazione in senso orario, invece, il momento sarà negativo. Può accadere che su uno stesso corpo rigido agiscano contemporaneamente due coppie di forze; se di queste coppie, una fa ruotare il corpo in senso orario (forze in blu), e l’altra in senso antiorario (forze in rosso), e se i momenti delle due coppie sono uguali, il corpo rimane fermo. Tali coppie di forze si dicono quindi equivalenti. Regola della mano destra per una coppia di forze Infatti, poiché le forze in rosso provocano una rotazione in senso antiorario, il momento relativo a tali coppie è positivo; mentre, il momento relativo alle forze il blu, che producono una rotazione in senso orario, sarà negativo. Dato che i momenti delle coppie sono uguali (in valore assoluto), possiamo concludere che la loro somma, e quindi il momento totale, è uguale a zero; di conseguenza, non vi è rotazione del corpo.
1.08 - Forze che agiscono su un corpo rigido Forze e corpi rigidi Come sappiamo, applicando più forze ad un punto materiale, possiamo facilmente determinare la risultante di esse; otteniamo quindi la forza totale mediante la somma vettoriale delle forze. Nel caso di un corpo rigido, però, abbiamo un’estensione molto grande del corpo rispetto alla superficie di un solo punto; l’effetto di una o più forze applicate al corpo dipende anche dal punto di applicazione delle stesse. Forze applicate in punti diversi, quindi, provocano effetti diversi. Ad esempio, consideriamo una bottiglia posta orizzontalmente sul pavimento; supponiamo di applicare una forza al centro della bottiglia: la forza provocherà uno spostamento della bottiglia lungo il piano; se, invece, applichiamo una forza sul collo della bottiglia, provocheremo una rotazione di essa. Effetti di una forza che agisce in punti diversi su un corpo rigido Inoltre, notiamo che l’effetto di una forza che agisce su un corpo rigido non cambia se il suo punto di applicazione viene spostato lungo la retta su cui giace il vettore forza, detta retta d’azione. Se, invece, applichiamo più forze ad un corpo rigido, per calcolare la risultante dobbiamo tenere presente i diversi punti di applicazione delle forze, e quindi agire in base alle situazioni che si presentano. Esaminiamo diversi possibili casi che si possono verificare quando applichiamo due forze ad un corpo rigido. Forze collineari Le forze collineari sono forze che agiscono sulla stessa retta d’azione su un corpo rigido. In questo caso, possiamo calcolare la risultante delle forze in questo modo: spostiamo una delle due forze (F_2) lungo la retta d’azione fino a quando il suo punto di applicazione coincide con quello dell’altra (F_1); ora, possiamo calcolare la risultante con la somma vettoriale. Calcolo della risultante di due forze collineari La risultante potrà essere spostata lungo la retta d’azione senza che il suo effetto sul corpo venga modificato. Inoltre, tale risultante può essere nulla nel caso in cui le forze abbiamo verso opposto e stessa intensità. Forze concorrenti Le forze concorrenti sono forze le cui rette d’azione si intersecano in un punto. In questo caso, quindi, per calcolare la forza risultante dobbiamo spostare le due forze lungo la retta d’azione fin quando i loro punti di applicazione non sono gli stessi; successivamente, si calcola la forza risultante con la regola del parallelogramma. Calcolo della forza risultante di due forze concorrenti Notiamo che, a differenza delle forze collineari, nel caso delle forze concorrenti la risultante è sempre diversa da zero. Forze parallele Le forze parallele sono, come dice il nome, forze che hanno rette d’azione parallele; in particolare, le forze parallele possono essere di due tipi: - si hanno forze parallele concordi quando le forze hanno lo stesso verso (nel caso, ad esempio, di due persone che spostano un armadio spingendo nella stessa direzione); - si hanno forze parallele discordi quando le forze hanno verso opposto (nel caso, ad esempio, di un terremoto, per cui la crosta terrestre scorre sui lati di una faglia); Calcolo della forza risultante di due forze concorrenti In generale, la forza risultante è applicata in un certo punto P, che si individua grazie alla seguente proporzione: d_1 : d_2 = F_1 : F_2 dove, d_1 e d_2 indicano, rispettivamente, le distanze del punto P dai punti di applicazione di F_1 e F_2. In particolare, se le forze sono concordi, il punto P si troverà compreso tra F_1 e F_2, e il modulo della forza risultante è dato dalla somma dei moduli delle forze che agiscono: F_Tot = F_1 + F_2 Inoltre, la posizione del punto P dipende dall’intensità delle forze stesse; se le forze hanno uguale intensità, il punto P sarà equidistante dalle forze, altrimenti sarà più vicino alla forza di intensità maggiore. Se, invece, le forze sono discordi, il punto P si trova esternamente alle forze; in particolare, esso sarà situato dalla parte della forza di intensità maggiore. Il modulo della forza risultante si ottiene con la differenza dei moduli delle forze che agiscono. F_Tot = F_2 + F_1
1.09 - L’equilibrio di un corpo rigido Corpo rigido in equilibrio Come sappiamo, se si applicano delle forze su un corpo rigido, esso può spostarsi nello spazio (cioè può traslare), oppure, a differenza di un punto materiale, può anche ruotare nello spazio. Diremo, quindi, che un corpo rigido è in equilibrio se non si sposta e non ruota, cioè se rimane fermo. Poiché sono proprio le forze a causare i moti dei corpi rigidi, un corpo rigido fermo rimane in equilibrio se: - la somma vettoriale delle forze applicate su di esso è nulla; - la somma vettoriale dei momenti delle forze applicate su di esso è nulla. Corpi regolari, irregolari, omogenei, non omogenei I corpi rigido possono presentarsi sotto molte forme diverse; alcuni vengono definiti regolari, come una palla (forma sferica) o un dado (forma cubica), poiché hanno forme regolari. Queste tipologie di corpi possiedono un centro di simmetria, cioè un punto all’interno di essi attorno al quale è distribuita la massa del corpo. A differenza dei corpi omogenei, quelli non omogenei non presentano un centro di simmetria. Inoltre, i corpi rigidi possono distinguersi anche in omogenei e non omogenei; i corpi omogenei sono quelli che presentano la stessa densità in ogni loro punto, come ad esempio un bicchiere di vetro; quelli non omogenei, invece, hanno densità non costante, e sono quei corpi che sono formati da materiali diversi; questo è il caso di un coltello, che ha la lama in metallo e il manico di legno. I corpi irregolari non presentano un centro di simmetria. Il baricentro Generalmente, il peso di un corpo rigido è dato dalla somma dei pesi di tutte le particelle che lo compongono. A differenza di un punto materiale, per cui la forza peso è applicata solo in un punto, nel caso di un corpo rigido la forza peso è distribuita su tutto il volume del corpo. Per chiarire questo concetto, possiamo immaginare un corpo rigido suddividendolo nell’insieme di tanti piccoli volumetti; la forza peso-totale del corpo, quindi, è data dalla somma vettoriale di tutte le forze-peso che si esercitano sui singoli volumetti: Distribuzione della forza peso su tutto il volume di un corpo rigido Il vettore che rappresenta la forza peso totale esercitata sul corpo rigido ha stesso verso dei vettori delle forze-peso dei singoli volumetti; la sua intensità è data dalla somma delle loro intensità. Questo vettore è applicato in un punto particolare del corpo; esso prende il nome di baricentro, o centro di gravità del corpo. Quando consideriamo un corpo rigido, quindi, possiamo trattarlo come se tutto i suo peso fosse concentrato in un singolo punto, il baricentro. Nel caso dei corpi omogenei e di forma regolare, il baricentro coincide con il centro di simmetria; se, invece, il corpo è irregolare o non omogeneo, l’individuazione del baricentro è più complessa. Nella maggior parte dei casi, il baricentro si trova nella parte più pesante del corpo, dove cioè la massa è più concentrata. Considerando un coltello, ad esempio, il baricentro si trova nel suo mezzo; in questo caso, però, è spostato dalla parte del manico, che è più pesante della lama. In alcuni casi, poi, il baricentro si può trovare alche all’esterno del corpo stesso; ciò accade quando una persona si flette in avanti, o nel caso di una ciambella, il cui baricentro si trova nel mezzo. Baricentro ed equilibrio Il baricentro di un corpo rigido influenza il suo equilibrio. Nel caso di un corpo appeso al muro, infatti, l’equilibrio dipende dalla posizione del baricentro rispetto al punto in cui tale corpo è appeso alla parete. Distinguiamo, quindi, tre tipi diversi di equilibri: Equilibrio stabile: si ha quando il corpo è appeso dall’alto; in questo caso, spostando di poco il corpo, esso ritorna nella posizione di partenza; Equilibrio instabile: si ha quando il corpo è appeso dal basso; spostandolo di poco, esso si allontana dalla posizione di equilibrio, e non ci torna; Equilibrio indifferente: si ha quando il corpo è appeso dal baricentro; spostandolo leggermente, esso si viene a trovare in una nuova posizione di equilibrio; Possiamo concludere, quindi, che la condizione necessaria affinché un corpo rigido appeso al muro sia in equilibrio è che il punto per il quale è appeso (punto di sospensione) sia sulla verticale che passa per il baricentro.
1.10 - Macchine semplici e leve
1.11 - Sistemi di riferimento inerziali e il principio di relatività galileiana
1.12 - Il primo principio della dinamica
1.13 - Effetto delle forze sui corpi rigidi, e secondo principio della dinamica
1.14 - Il terzo principio della dinamica
1.15 -
1.16 -
1.17 -
1.18 -
1.19 -
1.20 -