INDICE FISICA
1. LE GRANDEZZE FISICHE
Lo scopo della fisica è raggiungere una comprensione sempre più profonda del mondo in cui viviamo.
Le leggi della fisica ci permettono, in linea di principio, di prevedere il comportamento di ogni cosa, traiettorie razzi, chip computer, laser, questo perchè
tutto quello che esiste in natura obbedisce alle leggi fisiche.
1.01 - La fisica e le leggi della natura
Definiamo le leggi fisiche:
Leggi fisiche
Una legge fisica è una regolarità della natura esprimibile in forma matematica.
Le leggi fisiche sono universali, nel senso che:
1) non descrivono un singolo fenomeno, ma tutti i fenomeni di uno stesso tipo;
2) sono valide dappertutto e sempre.
La fisica che studiamo nei nostri laboratori è la stessa fisica che vale su una lontana galassia. L'dentità fra fisica terrestre e fisicsa celeste, affermata da Galileo,
fu uno degli atti fondamentali della scienza moderna.
La fisica è una scienza fondata sia sulla teoria sia sulle osservazione sperimentali.
Essa ci mostra che la complessità e la varietà del mondo sono manifestazioni di pochè, semplici, leggi fondamentali.
1.02 - Di che cosa si occupa la fisica
a) La fisica classica
Tradizionalmente la fisica classica, cioè la fisica che si è sviluppata tra il '600 (con Galileo e Newton) e la fine dell'800, si suddivide in 5 parti, ognuna delle quali
si occupa di studiare e interpretare un particolare aspetto:
b) La fisica del '900
Nel corso del '900 si sono verificate due grandi novità: da un lato, sono state elaborate delle teorie, la relatività e la meccanica quantistica, che hanno rivoluzionato
l'immagine fisica del mondo e sono diventate gli strumenti di lavoro abituali dei fisici; dall'altro, sono stati enormemente estesi i confini delle indagini sperimentali,
sia verso l'infinitamente piccolo (atomi, nuclei, particelle subnucleari) sia verso l'infinitamente grande (dalle galassie all'intero universo).
Sono nati così nuovi settori della fisica:
c) La fisica e le altre scienza
Numerosi sono i punti di contatto della fisica con le altre scienza.
La biofisica si occupa delle proprietàfisiche delle cellule e delle molecole di interesse biologico (proteine e DNA).
La bioinformatica utilizza metodi di fisica statistica per studiare l'informazione genetica.
La chimica quantistica descrive le reazioni chimiche mediante le leggi della meccanica quantistica.
La chimica fisica usa tecniche sperimentali di fisica per lo studio di molecole e processi chimici.
Le nanotecnologie cioè le tecnologie su scala molecolare, sono un terreno comune di ricerca per fisici e chimici.
L'applicazione della fisica ai fenomeni che riguardano il nostro pianeta (la sua struttura interna, l'ambiente, l'atmosfera, ecc) ha dato vita a una serie di importanti
discipline: la geofisica, la fisica ambientale, la fisica dell'atmosfera, la meteorologia, la climatologia.
Fisica e tecnologia
Oltre a essere la più fondamentale delle scienze, la fisica è intorno a noi.
I suoi risultati si sono infatti concretizzati in numerose invenzioni e tecnologie che fanno parte del mondo quotidiano.
Oggetti come cellulari, fotocopiatrici, forni a microonde, lettori DVD, schermi LED, fotovideo camere digitali traggono origine dalla fisica.
La lettura dei dati su un hard disk avviene sfruttando il fenomeno fisico noto come magnetoresistenza gigante scoperto nel 1988 da Albert Fert e Peter Grumberg.
Persino quelle parti della fisica che potevano apparire più lontane dall'esperienza comune sono entrate definitivamente a farne parte. La meccanica quantistica ed es
è alla base di tecnologie mediche di uso corrente, Risonanza Magnetica Nucleare (RMN) e la Tomografia a Emissione di Positroni (PET).
Anche la fisica delle particelle, che pure non ha scopi pratici, ha prodotto una serie di applicazioni di grande utilità: dai magneti super conduttori agli acceleratori
di protoni per la terapia contro il cancro, fino al WWW (World Wide Web) inventato nel 1989 da Tim Berners-Lee al CERN per permettere ai fisici di scambiare e condividere
dati.
La relatività è utilizzata nel funzionamento dei navigatori satellitari.
1.03 - Le grandezze fisiche
La fisica è una grandezza quantitativa che si occupa di grandezze fisiche.
Grandezze fisiche
Una grandezza fisica è una caratteristica di un oggetto o di un fenomeno che può essere misurata.
ESEMPI sono la lunghezza, la massa, la durata, la velocità, la temperatura.
Una proprietà come la bellezza non è una grandezza fisica poichè non può essere ne misurate ne quantificata in modo oggettivo.
1.04 - Le grandezze fondamentali
1.05 - Le grandezze derivate
1.06 - Le cifre significative
1.07 - Ordini di grandezza
2. LE MISURE DELLE GRANDEZZE FISICHE
2.01 - Gli strumenti di misura
2.02 - Gli errori di misura
2.03 - Il risultato di una misura
2.04 - Errore relativo ed errore percentuale
2.05 - Propagazione degli errori
2.06 - Rappresentazione di leggi fisiche
2.07 - Relazioni fra grandezze fisiche
3. I VETTORI E LE FORZE
3.01 - Grandezze scalari e vettoriali
Tra le grandezze fisiche c'è ne sono alcune, le grandezze scalari, che sono espresse solo da un valore numerico accompagnato da un'unità di misura
Esempi sono la massa di un oggetto, il volume di un recipiente, la durata di un evento, la densità di un materiale.
Un numuro non sempre riesce a descrivere una grandezza fisica e necessita quindi anche di una direzione.
Ad ESEMPIO siamo in una città che non conosciamo e vogliamo andare in biblioteca. Chiediamo info e ci dicono che si trova nel raggio di 500m,
ma questa info non è di grande aiuto; abbiamo bisogno di conoscere dov'è ubicata esattamente la biblioteca con una info del tipo:
"si trova a 500m direzione Nord-Ovest da qui".
Lo spostamento da punto dove siamo alla biblioteca è una grandezza fisica determinata dalla distanza e dalla direzione.
Nella figura sopra lo spostamento è rappresentato da una freccia che punta nella direzione e nel verso del moto e
la cui lunghezza che chiameremo modulo o intensità (500m nel nostro caso) rappresenta la distanza in linea d'aria tra noi e la biblioteca.
Questo spostamento è un ESEMPIO di grandezza vettoriale.
PS: una grandezza scalare è una grandezza che viene descritta unicamente, dal punto di vista matematico, da un numero reale, detto anch'esso scalare,
spesso associato a un'unità di misura. A differenza delle grandezze vettoriali, non è pertanto sensibile alle dimensioni dello spazio, né al particolare
sistema di riferimento o di coordinate utilizzato.
Definiamo grandezza vettoriale una grandezza fisica rappresentata graficamente da un vettore.
Un vettore è un ente matematico definito da un modulo (che è un numero NON negativo), una direzione e un verso.
Alcuni ESEMPI di grandezze vettoriali sono: lo spostamento, la velocità e l'accelerazione di un oggetto e le forze.
La rappresentazione grafica di un vettore è la seguente:
3.02 - Operazioni con i vettori
Vediamo le operazione che possiamo fare sui vettori
Somma di vettori
Partiamo con un ESEMPIO: su una mappa del tesoro dice che per trovarlo devo partire da un albero in cortile, fare 5 passi verso nord e poi 3 verso est.
Se questi questi due spostamenti sono rappresentati da vettori, A e B lo spostamento totale dall'albero è dato dal vettore C.
Diciamo che C è il vettore somma di A e B e scriviamo: C = A + B
La regola che si segue per la somma e detto metodo punta-coda: per sommare due vettori A e B:
1) si dispone la coda di B sulla punta di A
2) la somma C = A + B è il vettore che va dalla coda A alla punta di B.
Per farlo è necessario spostare i vettori, operazione possibile se spostati parallelamente a se stessi, senza modificare la lunghezza e il verso.
Somma di vettori che hanno la stessa direzione
Semplicemente, se sommiamo vettori con uguale direzione, il vettore somma avrà la stessa direzione.
Per quanto ruguarda il modulo e il verso avremo:
1) se i due vettori hanno versi uguali, il vettore somma ha come modulo la somma dei moduli dei due vettori e lo stesso verso.
2) se i due vettori hanno verso opposto, il vettore somma ha come modulo la differenza dei moduli dei due vettori e come verso quello del vettore che ha
modulo maggiore.
Regola del paralleogramma
Vediamo cosa dice questa regola creata per sommare due vettori A e B:
1) si fanno coincidere le loro code e si disegna il parallologramma che ha i due vettori come lati.
2) la somma C = A + B è la diagonale del parallelogramma.
Somma di più vettori
Con più di due vettori le regole non cambiano. Usiamo ancora il metodo punta-coda o la regola del parallelogramma. Vediamo un ESEMPIO grafico:
Differenza di due vettori
Vediamo ora come si sottraggono due vettori.
Vogliamo determinare il vettore differenza D dei due vettori A e B, cioè: D = A - B possiamo anche scriverlo così: D = A + (-B)
cioè come somma di A e -B dove B è il vettore opposto di B.
L'opposto di un vettore è rappresentato da una freccia della stessa lunghezza ma di direzione opposta.
Prodotto di un vettore per un numero
Un altra operazione è quella di moltiplicare un vettore per un numero.
Moltiplicandolo ad ESEMPIO per 3 si aumento il suo modulo di 3 volte senza cambiarne però direzione e verso.
Se invece moltiplichiamo per -3 si aumenta ancora il suo modulo di 3 volte, si inverte il verso senza cambiarne però direzione.
3.03 - Componenti cartesiane di un vettore
Scomposizione di un vettore lungo due rette qualsiasi
In fisica capita spesso l'operazione contraria a quanto visto sopra, cioè la scomposizione di un vettore lungo due rette assegnate.
Per farlo si ricorre alla regola del parallelogramma. Vediamo un ESEMPIO.
Se A è il vettore da scomporre lungo le rette r1 ed r2:
1) poniamo la coda di A nel punto di intersezione di r1 ed r2:
2) tracciamo le parallele a r1 ed r2 passanti per la punta di A;
3) i lati del parallelogramma che si ottiene, orientati a partire dalla coda di A, rappresentano i vettori cercati, cioè i vettori A1 e A2 che hanno come somma A:
A1 + A2 = A
Scomposizione di un vettore lungo gli assi cartesiani
IMPORTANTE è la scomposizione di un vettore lungo i suoi assi perpendicolari di un sistema di coordinate cartesiane.
Scegliamo un origine O e un verso positivo per l'asse x (ascisse) e per l'asse y (ordinate) come in figura sotto.
Ponendo la coda di un vettore A nell'origine O e disegnando le parallele degli assi x e y che passano per la punta di A, si trovano due vettori perpendicolari
Ax e Ay la cui somma è A:
A= Ax + Ay
La direzione di A nel sistema cartesiano è individuata dall'angolo θ che il vettore forma con l'asse delle ascisse x.
I moduli Ax e Ay dei due vettori Ax e Ay sono le componenti cartesiane del vettore A.
Ad esse è attribuito un segno positivo o negativo a seconda che i vettori Ax e Ay siano diretti nel verso positivo o negativo degli assi x e y.
Graficamente:
Calcolo delle componenti cartesiane di un vettore
Le componenti Ax e Ay possono essere calcolate a partire dal modulo e dalla direzione di A, cioè dall'angolo θ che il vettore forma con l'asse x.
Per ottenere una relazione tra θ e le componenti cartesiane di A introduciamo tre funzioni goniometriche seno, coseno e tangente.
Queste tre funzioni goniometriche (goniometro=strumento che misura gli angoli) sono definite come rapporti tra i lati di un triangolo rettangolo:
1) il seno di un angolo (simbolo sen) è il rapporto fra il cateto opposto all'angolo e l'ipotenusa: sen θ = cateto opposto / ipotenusa
2) il coseno di un angolo (simbolo cos) è il rapporto fra il cateto adiacente all'angolo e l'ipotenusa: cos θ = cateto adiacente / ipotenusa
3) la tangente di un angolo (simbolo tg) è il rapporto fra il cateto opposto all'angolo e il cateto adiacente: tg θ = cateto opposto / cateto adiacente
Dalla figura sopra possiamo scrivere le seguenti relazioni che rappresentano il seno coseno e tangente di un angolo θ
sen θ = b / a → b = a * sen θ
cos θ = c / a → c = a * cos θ
tg θ = b / c → b = c * tg θ → c = b / tg θ
ESEMPIO 1: vediamo il calcolo delle componenti di un vettore:
ESEMPIO 2: scrivi le componenti cartesiane di un vettore A di modulo 5 cm, che forma un angolo di 42° con l'asse x:
Come dall'ESEMPIO 1 fatto sopra faccio i primi 3 passi (esposti nei primi 3 disegni) ottenendo:
Ricaviamo ora la componente Ax = A * cos θ = 5cm * cos 42° = 5cm * 0,74 = 3,72 cm
Ricaviamo ora la componente Ay = A * sen θ = 5cm * sen 42° = 5cm * 0,67 = 3,35 cm
Le relazioni usate nei 2 esercizi sopra si possono utilizzare anche per calcolare il problema inverso cioè calcolare il modulo di un vettore e l'angolo che identifica la sua direzione, conoscnedo le componenti cartesiane del vettore.
ESEMPIO 3: calcolare il modulo e la direzione di un vettore:
ESEMPIO 4: Il vettore r disegnato in figura ha modulo r = 1,5m.
Se l'angolo θ è di 25°, quali sono le componenti cartesiane di r?
Le componenti cartesiane rx e ry del vettore r si ottengono applicando relazioni:
rx = r * cos θ = 1,5m * cos 25° = 1,5m * 0,9063 = 1,36m
ry = r * sen θ = 1,5m * sen 25° = 1,5m * 0,4226 = 0,634m
Per verifica risolviamo il problema inverso: date le componenti rx = 1,36m ed ry = 0,634m calcoliamo il modulo e la direzione di r:
r = √ (rx)2 + (ry)2 = √ (1,36m)2 + (0,634m)2 = √ 1,85m2 + 0.4m2 = 2,25m2 = 1,5m
tg θ = rx / ry = 0,634 / 1,36 = 0,4662 → θ = tg-1 * 0,4662 = tasti calcolatrice: [2nd] [tan] e digito: 0,4662 = 25°
ESEMPI di calcolo funzioni trigonomertriche su calcolatrice scientifica:
Facciamo ora un paio di esempi che capirne lutilità.
PROBLEMA 1: Un aeroplano decolla da un aeroporto e viene successivamente avvistato ad una distanza di 215 km dallaeroporto
e in una direzione che fa un angolo di 22° Est rispetto al Nord geografico.
Quali sono le componenti della spostamento?
Facciamo un disegno per evidenziare la situazione espressa dal problema:
Proviamo ora a fare i calcoli:
dx = d * cos θ = (215 km) * (cos 68°) = 81 km
dy = d * sen θ = (215 km) * (sen 68°) = 109 km
PROBLEMA 2: vogliamo calcolare l'altezza di una scogliere.
Un uomo si mette spalle alla base della scogliera, poi cammina dritto davanti a se per 500m; a quesot punto si sdraia per terra e misura l'angolo tra la linea
orizzontale e la direzione in cui vede la cima della scogliera.
Se l'angolo è 34°, quanto è alta la scogliera?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA In figura è disegnato il triangolo rettangolo che rappresenta il modello del problema. Il lato opposto all'angolo θ è l'altezza h
della scogliera che dobbiamo determinare, mentre il lato adiacente all'angolo è la distazna b = 500m; a questo punto si sdraia per terra e misura l'angolo fra
la linea orizzontale e la direzione in cui vede la cima della scogliera e l'uomo.
STRATEGIA Usiamo la funzione coseno e la relazione tra cateti, ipotenusa e angoli di un triangolo rettangolo.
SOLUZIONE Dalla relazione b = d * cos θ calcoliamo d:
d = b / cos θ = 500m / cos 34° = 603m
Usando il teorema di Pitagora possiamo ora scrivere l'altezza h:
h =√ d2 - b2 = √ (603m)2 - (500m)2 = √ 363.609m2 - 250.000m2 = √ 113.609m2 = 337,06m
OSSERVAZIONI Per calcolare l'altezza h è fondamentale conoscere la distanza b del punto di osservazione della base della scogliera, quindi la scogliera deve
essere accessibile.
PROBLEMA 3: se √ fosse di 30°, a quale distanza si troverebbe l'uomo dalla base della scogliera? d = 603 (dato ricavato dall'PROBLEMA 2) b = 603 * cos 30° = 603 * 0,866 = 522,21
Somma vettoriale per componenti
La definizione è la seguente: per sommare due o più vettori basta sommare le loro componenti
Avremo che se C è la somma di A e B, cioè C = A + B,
le componenti cartesiane di C sono date da:
Cx = Ax + Bx
Cy = Ay + By
e per calcolare il modulo di C si applica la formula: C = √ (Cx)2 + (Cy)2
PROBLEMA 1 (Veleggiando nell'Egeo):
Anna e Marco stanno andando in barca a vela nel mar Egeo. Un giorno partona da Milos e si dirigonmo verso nord verso Serifos, a 24 miglia di distanza
(1nmi miglio nautico = 1.852m). Il giorno dopo partono da Serifos e puntano Mykonos, che dista 42 miglia, con rotta 60° (che in linguaggio navale vuol
dire che la rotta forma un angolo di 60° con la direzione nord in senso orario).
Qual'è il modulo dello spostamento complessivo di Anna e Marco?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA In figura a) sono tracciati i vettori spostamento da Milos a Serifos (A) e da Serifos a Mykonos (B).
I moduli di questi vettori sono 24 nmi e 42 nmi, rispettivamente. Continueremo a usare le miglia nautiche come unità di misura della lunghezza.
Dobbiamo determina il modulo dello spostamento totale C = A + B da Milos a Mykonos.
STRATEGIA Cotruiamo il modello del problema, in figura b).
Poniamo l'origine O di un sistema di assi cartesiani nel punto di partenza (Milos). Gli assi sono orientati in modo che le ascisse (x) puntino a est e le
ordinate (y) a nord. Calcoliamo le componenti cartesiane di A e B, osservando che A è diretto lungo l'asse y e B forma con l'asse orinzontale un angolo di 30°.
Le componenti Cx e Cy di C sono la somma delle componenti Ax e Ay di A e Bx e By di B.
A partire da Cx e Cy determiniamo C usando il teorema di Pitagora.
SOLUZIONE Le componenti di A sono:
Ax = 0 nmi
Ay = 24 nmi
Le componenti di B sono:
Bx = 42 nmi * cos 30° = 42 nmi * 0,86 = 36 nmi
By = 24 nmi * sen 30° = 24 nmi * 0,5 = 21 nmi
Le componenti di C si ottengono sommando quelle di A e quelle di B :
Cx = Ax + Bx = 0 nmi + 36 nmi = 36 nmi
Cy = Ay + By = 24 nmi + 21 nmi = 45 nmi
Il modulo di C è dato da
C = √ (Cx)2 + (Cy)2 = √ (36 nmi)2 + (45 nmi>)2 = √ 1296 + 2025 = √ 3321 = 58 nmi
SOLUZIONE Il modulo dello spostamento NON è uguale alla distanza percorsa dalla barca, che è 24+42= 66 nmi
PROBLEMA 2 (Veleggiando nell'Egeo):
Se da Mykonos volessi andare a Patros, 80 nmi a est di Mykonos, quale sarebbe il modulo del loro spostamento totale da Milos a Patros?
SOLUZIONE Le componenti di A sono:
Ax = 0 nmi
Ay = 24 nmi
Le componenti di B sono:
Bx = 42 nmi * cos 30° = 42 nmi * 0,86 = 36 nmi
By = 24 nmi * sen 30° = 24 nmi * 0,5 = 21 nmi
Le componenti di C sono:
Cx = 80 nmi
Cy = 0 nmi
Le componenti di D si ottengono sommando quelle di A, B e C:
Dx = Ax + Bx + Cx = 0 nmi + 36 nmi + 80 nmi = 116 nmi
Dy = Ay + By + Cy = 24 nmi + 21 nmi + 0 nmi = 45 nmi
Il modulo di C è dato da
C = √ (Cx)2 + (Cy)2 = √ (116 nmi)2 + (45 nmi>)2 = √ 13465 + 2025 = √ 15481 = 124 nmi
3.04 - Le forze
Quando spostiamo/spingiamo/tiriamo qualcosa stiamo esercitando un forza.
Stessa cosa quando teniamo qualcosa in mano, stiamo esercitando una forza verso l'alto che si oppone alla spinta verso il basso dovuta alla forza di gravità.
In natura questo accade in continuazione, infatti il mondo è fatto da oggetti che esercitano delle azioni sugli altri. Queste azioni prendono il nome di forze.
Le forza possono agire per contatto, come quando colpiamo una palla e piantiamo un chiodo e a distanza, come nel caso della forza di gravità o della forza
magnetica sull'ago di una bussola.
L'effetto delle forze è di modificare il moto dei corpi, in particolare la loro velocità.
Esse possono anche produrre delle deformazioni, ma a livello microscopico queste sono comunque riconducibili a cambiamenti dello stato di moto delle
molecole.
Le forze sono grandezze vettoriali
Le forze sono caratterizzate non solo da una certa intensità (o modulo), ma anche da una direzione e da un verso.
Le forze sono quindi grandezze vettoriali, descritti matematicamente dai vettoti.
La coda della freccia che rappresente graficamente il vettore forza va collocata nel punto in cui agisce la forza, detto punto di applicazione.
Le misure delle forze
La forza, come tutte le grandezze fisiche, è definita operativamente attraverso un procedimento di misura.
Per misurare le forze si sfruttano i loro effetti, in particolare le deformazioni che esse causano sugli oggetti.
Uno strumento per misurarla è il dinamometro a molla,
Per definizione due forze hanno la stessa intensità se, applicate al dinamometro, producono lo stesso allungamento.
Per tarare un dinamometro applichiamo la forza campione di un massa campione di peso =1 e segnamo il valore sulla scala.
Applichiamo poi due masse uguali alla precedente (quindi di peso totale =2) e segnamo il valore sulla scala; così di seguito costruiremo una scala graduata.
Possiamo definire l'unità di misura della forza, che è il newton (N), come la forza che produce un allungamento della molla di un dinamometro
uguale a quello prodotto da una massa appesa di (1 / 9,81 = 0,1019) kg.
Vediamo alcuni esempi di intensità di forze:
| Tipi di forza | Intensità (N) |
| Forza dei motori di una navicella | 3,1 * 107 |
| Forza trainante di una locomotiva | 2,5 * 105 |
| Spinta del motore di un jet | 7,5 * 104 |
| Forza per accelerare un'auto | 7 * 103 |
| Peso di un uono adulto | 7 * 102 |
| Peso di una mela | 1 |
| Peso di una rosa | 1 * 10-1 |
| Peso di una formica | 1 * 10-3 |
Risultante di più forze
Quasi sempre su un corpo agiscono contemporaneamente più forze, ad es. un piatto fermo sul tavolo è soggetto a una forza verso il basso dovuta alla gravità
e una forza verso l'alto dovuta al tavolo; se lo spingiamo è soggetto anche ad un forza orizzontale.
La forza totale, o risultante, che indicheremo con il vettore R, esercitata sul piatto e la somma vettoriale delle singole forze che agiscono su esso.
ESEMPIO 1: supponiamo che due astronauti usino i propulsori a getto per spingere un satellite verso la navicella spaziale come in figura sotto. Se l'astronauta 1 esercita una forza F1 e l'astronauta 2 esercita una forza F2, la risultante delle forze sul satellite, cioè la forza effettiva che agisce sul satellite, è la somma vettoriale: R = F1 + F2
Poichè le forze si sommano vettorialmente, è possibile che su un corpo agiscano delle forze singolarmente non nulle, ma la cui risultante è nulla.
In questo caso si duce che il corpo è in equilibrio
ESEMPIO 2: se gli astronauti dell'esempio 1 spingono il satellite con forze di intensità F1=26 N ed F2=41 N, le cui direzioni formano un angolo di 52°, qual'è l'intensità della forza risultante sul satellite? DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Con il sistema di coordinate indicato nel'esempio 1 l'astronauta 1 spinge nel verso positivo dell'asse x, mentre l'astronauta 2 spinge con un angolo di 52° rispetto allo stesso asse. L'astronaita 1 esercita una forza di intensità F1=26 N, l'astronauta 2 esercita una forza di intensità F2=41 N. Dobbiamo quindi calcolare il modulo di R = F1 + F2.
STRATEGIA Usiamo il metodo della somma vettoriale per componenti cartesiane. Calcoliamo le componenti cartesiane di F1 e F2, le sommiamo per ricavare
quelle di R, che permettono di determinare il modulo R.
SOLUZIONE F1 è diretto lungo l'asse x, quindi le sue componenti sono:
F1x = F1 = 26 N
F1y = 0
F2 forma un angolo di 52° con l'asse x. Le sue componenti sono:
F2x = F2 * cos 52° = (41 N) cos 52° = 41 N * 0,6157 = 25,24 N
F2y = F2 * sen 52° = (41 N) sen 52° = 41 N * 0,7880 = 32,31 N
Le componenti di R sono la somma delle componenti di F1 e di F2:
Rx = F1x + F2x = (26+25,24) N = 51,24 N
Ry = F1y + F2y = (0+32,31) N = 32,31 N
Il modulo di R si ottiene con la formula (approssimo i valori trovati sopra all'unità):
R = √ (Rx)2 + (Ry)2 = √ (51 N)2 + (32 N)2 = √ 2.601 N2 + 1.024 N2 = √ 3.625? N2 = 60 N
ESEMPIO 3: Quanto varrebbe il modulo di R se le forze F1 ed F2 fossero perpendicolari DESCRIZIONE DEL PROBLEMA E' lo stesso problema dell'esempio 2 ma l'angolo fra le forze è di 90°.
SOLUZIONE F1 è diretto lungo l'asse x, quindi le sue componenti sono:
F1x = F1 = 26 N
F1y = 0
F2 è diretto lungo l'asse y. Le sue componenti sono:
F2x = 0
F2y = F2 = 41 N
Le componenti di R sono la somma delle componenti di F1 e di F2:
Rx = F1x + F2x = (26+0) N = 26 N
Ry = F1y + F2y = (0+41) N = 41 N
Il modulo di R si ottiene con la formula (approssimo i valori trovati sopra all'unità):
R = √ (Rx)2 + (Ry)2 = √ (26 N)2 + (41 N)2 = √ 676 N2 + 1.681 N2 = √2.357 N2 = 48,55 N
3.05 - La forza peso
Quandi ci pesiamo, la bilancia fornisce in realtà una misura della forza gravitazionale che la Terra esercita su di noi.
E' questo il nostro peso.
In generale il peso P di un oggetto sulla superficie terrestre è la forza gravitazionale esercitata su di esso dalla Terra.
Ne consegue quindi che il peso è una forza chiamato forza peso e nel SI (Sistema Internazionale) si misura in newton (N).
Sappiamo che maggiore è la massa di un oggetto e maggiore è il suo peso, quindi sono direttamente proporzionali. In formule:
P = mg
dove g è una costante di proporzionalità che sulla superficie terrestre vale 9,81 N/Kg; è questa l'origine del numero 9,81 che compare nella
definizione di newton data sopra.
Una massa di 1Kg pesa infatti 9,81 N
Il valore g = 9,81 N/Kg è in realtà è indicativo poichè esso dipende dal punto della superficie terrestre dove ci si trova (ai poli è maggiore che all'equatore
di circa lo 0,5%) e dall'altitudine (diminuisce salendo in altezza dal livello del mare).
Poichè il peso è una forza, è anche una grandezza vettoriale; esso ha un modulo (P), una direzione e un verso:
Differenza tra peso e massa
Vediamo la NETTA differenza tra peso e massa: il peso è la forza gravitazionale misurata in newton, la massa è una quantità invariante tipica di ogni corpo,
misurate in Kg.
Sulla Luna la nostra massa non cambierebbe perchè avremmo sempre la stessa quantità di materia, ma poichè la forza gravitazionale della luna è minore di
quella della Terra (gLuna < gTerra) peseremmo di meno.
Essendo gLuna = 1,62 N/Kg, circa 1/6 di gTerra il peso di un corpo sulla Luna sarà circa 1/6 di quello sulla Terra.
Ad ESEMPIO se una persona ha massa m = 55,1 Kg il suo peso sui due pianeti sarà:
PTerra = m * 9,81 N/Kg = 55,1 Kg * 9,81 N/Kg = 541 N
PLuna = m * 1,62 N/Kg = 55,1 Kg * 1,62 N/Kg = 89 N
ESEMPIO 1: la sonda Phoenix Mars Lander è atterrata su Marte il 25/5/2008 dopo 9 mesi di viaggio; ha massa m = 350 Kg. Qual'è il suo peso sulla Terra e su Marte (dove g = 3,69 N/Kg)? DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La massa della sonda, che è la stessa su entrambi i pianeti, è m = 350 Kg. Dobbiamo calcolare il peso, che dipende della costante g, che vale 9,81 N/Kg sulla Terra e 3,69 N/Kg su Marte. STRATEGIA Usiamo al relazione tra massa e peso P = mg SOLUZIONE Il peso della sonda sulla Terra è: PTerra = m*gTerra = 350 Kg * 9,81 N/Kg = 3,43 * 103 N Il peso della sonda sulla Luna è: PLuna = m*gLuna = 350 Kg * 3,69 N/Kg = 1,29 * 103 N Proviamo a vedere il valore della sonda Phoenix Mars Lander sugl'altri pianeti del sistema solare (la Terra è il 3° e Marte il 4°):
| Il peso della sonda sulla Mercurio è: | PMercurio = m*gMercurio = 350 Kg * 3,7 N/Kg | = 1,295 * 103 N |
| Il peso della sonda sulla Venere è: | PVenere = m*gVenere = 350 Kg * 8,87 N/Kg | = 3,105 * 103 N |
| Il peso della sonda sulla Giove è: | PGiove = m*gGiove = 350 Kg * 23,12 N/Kg | = 8,092 * 103 N |
| Il peso della sonda sulla Saturno è: | PSaturno = m*gSaturno = 350 Kg * 8,96 N/Kg | = 3,136 * 103 N |
| Il peso della sonda sulla Urano è: | PUrano = m*gUrano = 350 Kg * 8,69 N/Kg | = 3,042 * 103 N |
| Il peso della sonda sulla Nettuno è: | PNettuno = m*gNettuno = 350 Kg * 11 N/Kg | = 3,85 * 103 N |
3.06 - La forza elastica
Per allungare una molla dobbiamo compiere uno sforzo poichè quando viene allungata quest'ultima esercita una forza di richiamo, detta forza elastica,
che tende a riportarla alla lunghezza iniziale:
La legge di Hooke
Supponiamo che, allungando una molla di una quantità x, essa eserciti una forza di intensità F.
Possiamo verificare che, se allunghiamo la molla di una quantità doppia 2x , la forza elastica dicenta 2F, e così via come nella figura sotto:
La forza elastica è quindi direttamente proporzionale all'allungamento.
Analogamente, se comprimiamo la molla di una quantità x, la molla spinge la mano con una forza elastica di intensità F, dove F ha
lo stesso valore del caso precedente. La compressione di 2x comporterà una spinta di 2F.
La differenza rispetto all'allungamento e che il verso della forza è opposto.
Definiamo la Legge di Hooke:
Una molla esercita una forza elastica la cui intensità F è direttamente proporzionale all'allungamento o alla compressione x della molla, in formule:
F = k * x
In queste espressione k è la costante di proporzionalità e prende il nome di costante elastica della molla.
Essendo F misurata in newton e x in metri l'unità di misura di k è il newton al metro N/m e più grande è il valore di k più rigida è la molla, cioè
maggiore è la forza alla quale dobbiamo sottoporre la molla per ottenere lo stesso allungamento.
Un ESEMPIO di utilizzo della Legge di Hooke è nei legami molecolari che possono essere rappresentati come "molle interatomiche":
La legge di Hooke è una legge empiriche (cioè che non varia nel tempo e nello spazio) ma ovviamente non può valere per ogni valore di x.
Allungando troppo una molla questa si deforma permanentemente.
Si parla di molle ideali per indicare molle prive di massa che obbediscono esattamente alla legge di Hooke.
D'ora in poi per "molle" intenderemo sempre molle ideali.
Possiamo definire la Legge di Hooke in forma vettoriale:
Una molla che subisce uno spostamento x dalla posizione di equilibrio esercita una forza elastica data da:
F = -k * x
il segno meno ci dice che la forza elastica è sempre opposta allo spostamento della molla dalla posizione di equilibrio.
ESERCIZIO 1: Due molle 1 e 2 hanno rispettivamente costante elastiva k1=200 N/m e k2=100 N/m. a) se si applica a entrambe le molle la stessa forza di F = 4 N, quel'è il loro allungamento? b) rappresenta graficamente la legge di Hooke per le due molle. a) dalla legge di Hooke, F = k * x si ottiene che l'allungamento della molla 1 è: x = F / k1 = 4 N / 200 N/m = 0,02 m mentre l'allungamento della molla 2 è: x = F / k2 = 4 N / 100 N/m = 0,04 m cioè il doppio. b) la legge di Hooke per le due molle è rappresentata graficamente delle rette in figura.
Notiamo che quanto più grande è la costante elastica, tanto più è ripida la retta che descrive la legge.
3.07 - Le forze di attrito
Anche la più liscia delle superfici, se osservata a livello atomico, risulta scabra e dentallata, quindi per far scorrere due superfici l'una sull'altra, occorre
superare la resistenza dovuta agli urti fra i loro microspopici avvallamenti. Questa resistenza è l'origine della forza che chiamiamo attrito.
Poichè l'attrito dipende da molti fattori, ad ESEMPIO il materiale, la finitura della superficie, la presenza di lubrificanti, NON ESISTE una legge fisica
semplice e universale che lo descriva.
Ci sono però alcune leggi empiriche (da osservazioni si ricavano descrizioni di oggetti e altri fenomeni che NON variano a distanza di tempo e di spazio)
che permettono di calcolare le forze di attrito.
Una prima distinzione è quella fra l'attrito che si manifesta quando un corpo scivola su una superficie, detto attrito radente,
e l'attrito che si manifesta quando un corpo rotola su una superficie, detto attrito volvente.
L'attrito volvente volvente è molto meno intenso dell'attrito radente tra le stesse superfici.
C'è un ulteriore forma di attrito, detta attrito del mezzo o attrito viscoso, che si oppone al moto di un corpo in un mezzo fluido
(cioè in un gas o in un liquido) e che dipende dalla velocità del corpo.
La forza di attrito radente si distingue in :
- attrito dinamico, che si oppone allo scorrimento di un corpo su una superficie.
- attrito statico, che si oppone al distacco di un corpo da una superficie.
Come vedremo, la forza di attrito radente è proporzionale alla forza premente sulla superficie, ma è indipendente dalla superficie di contatto fra le superfici
ed è espressa dalla relazione:
= µ * F⊥
dove F⊥ è la forza premente sulla superficie, coiè la componente perpemndicolare della forza che agisce sulla superficie, e µ (mu) è il coefficiente di attrito.
Poichè Fattrito e F⊥ sono entrambe forze e hanno la stessa unità di misura µ è un numero adimensionale.
I suoi valori variano fra 0 e 1 e alcuni di essi sono riportati nella tabella sotto:
Come si nota in genere il coefficiente di attrito statico µs è maggiore del coefficiente di attrito dinamico µd e questo significa che la forza di attrito statico è
maggiore della forza di attrito dinamico.
La forza di attrito è una grandezza vettoriale, che ha direzione parallela alla superficie di contatto e ha verso opposto a quello dello scorrimento, nel caso di
attrito dinamico e a quello in cui si muoverebbe l'oggetto se non ci fosse attrito, nel caso di attrito statico.
L'attrito dinamico
L'attrito dinamico, si manifesta quando un corpo si muove scivolando su una superficie.
La forza di attrito dinamico Fd dovuta al contatto tra la superficie del corpo e quella del piano su cui esso si muove, agisce in modo da opporsi allo
scivolamento del corpo:
Si può verificare sperimentalmente che la forza di attrito dinamico non dipende ne dall'area della superficie di contatto ne dalla velocità del corpo,
ma solo dalla forza che agisce perpendicolarmente alla superficie. In formule la legge dell'attrito dinamico è:
Fd = µd * F⊥
dove F⊥ è la forza premente perpendicolare e la costante di proporzionalità µd è il coefficiente di attrito dinamico.
Se il corpo che scivola sulla superficie non è soggetto ad alcuna forza esterna, la forza premente F⊥ è semplicemente data dal suo peso P.
Consideriamo ad ESEMPIO 1 un mattone che scorre su una superficie orizzontale, non soggetto ad alcuna forza esterna:
In questo caso la forza di attrito dinamico agisce in direzione opposta al moto e dipende dal peso P del mattone:
Fd = µd * F⊥ = µd * P
ESEMPIO 2 Supponiamo ora di premere con la mano sul mattone con una forza F, in questo caso sulla superficie agisco due forze, F e P e quindi F⊥ = F + P.
L'attrito dinamico in questo caso è:
Fd = µd * F⊥ = µd * (P + F)
ESEMPIO 3 Consideriamo ora lo scivolamento di un corpo lungo un piano inclinato. In questo caso la forza premente è la componente della forza peso
perpendicolare al piano, che è inferiore al modulo P della forza peso. E' solo questa componente che contribuisce alla froza di attrito.
Dalla figura sotto si vede che θ (theta) è l'angolo di inclinazione del piano, la forza premente è F⊥ = P⊥ = P cos θ ed è sempre minore del peso P.
La forza di attrito su un piano inclinato è quindi minore che su un piano orizzontale:
Fd = µd * F⊥ = µd * P * cos θ
Riassumento:
Leggi empiriche dell'attrito dinamico
la forza di attrito dinamico tra un corpo e una superficie:
1) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a quello dello scivolamento del corpo sulla superficie;
2) è indipendente dall'area della superficie di contatto e dalla velocità vdel corpo;
3) è proporzionale alla forza premente sulla superficie, Fd = µd * F⊥
L'attrito statico
L'attrito statico tende ad impedire che un oggetto fermo su una superficie si distacchi da essa, cominciando a scivolare. Anche questo tipo di attrito, come quello
dinamico, è dovuto alle microscopiche irregolarità delle superfici di contatto. L'attrito statico è generalmente maggiore di quello dinamico perchè, quando le
superfici sono in contatto statico, i loro microscopici avvallamenti possono adertire maggiormente l'uno all'altro, determinando una forte interazione fra le due
superfici, dovuta ai legami molecolari.
Vediamo un ESEMPIO. Consideriamo un mattone fermo su un tavolo:
Se tiriamo il mattone con una forza così piccola da non riuscire a farlo muovere, sul mattone agisce una forza di attrito statico Fd che tende a mantenerlo
fermo, essendo uguale ed opposta alla forza che applichiamo sul mattone.
Aumentiamo ora gradualmente l'intensità della forza applicata.
Fino a che il mattone rimane fermo, aumenta anche la forza di attristo statico, che continua a compensare quella applicata.
A un certo punto il mattone comincia a muoversi e in quel momento la forza di attrito statico raggiunge il suo valore massimo che indicheremo con Fs,max.
Successivamente l'attrito diventa dinamico.
La Fs,max è detta forza massima di attrito statico o forza di attrito al distacco.
Si trova sperimentalmente che la forza massima di attrito statico NON dipende dall'area della superficie di contatto ed è direttamente proporzionale alla
forza premente:
Forza massima di attrito statico>
Fs,max = µs * F⊥
La costante di proporzionalità µs è il coefficiente di attrito statico.
FISICA REALE: il coefficiente di attrito statico dipende da molti fattori, incluso il fatto che le superfici siano asciutte o bagnate.
Nel deserto della Valle della morte, in California, le rare ma forti piogge rendono viscito il terreno sobbioso e possono a volte ridurre l'attrito tra le roccie e
il terreno in modo che i venti forti possono spostarle anche lontano.
Le osservazioni precedenti possono essere riassunte nelle seguenti leggi empiriche dell'attrito statico:
Leggi empiriche dell'attrito statico
la forza di attrito statico tra un corpo e una superficie:
1) è parallela alla superficie di contatto e il suo verso è opposto a quello in cui si muoverebbe il corpo in assenza di attrito;
2) è indipendente dall'area della superficie di contatto;
3) può assumere un qualsiasi valore tra zero e la forza massima di attrito statico Fs,max = µs * F⊥
PROBLEMA 1 L'attrito della cassa
Un autocarro inclina lentamente il suo pianale ribaltabile per scaricare una cassa di 95 Kg.
Quando il pianale è inclinato di 20° la cassa è ancora ferma.
a) Determina l'intensità della forza di attrito statico che agisce sulla cassa.
b) Quando il pianale è inclinato di 32°, la cassa comincia a scivolare.
Determina il coefficente di attrito statico tra la cassa e il pianale.
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Quando la cassa è ferma la forza di attrito statico deve compensare la componente della forza peso parallela al pianale.
Quando la cassa comincia a muoversi la forza che compensa la componente della forza parallela alla superficie è la forza massima di attrito statico, della
quale possiamo ricavare il coefficiente di attrito statico.
STRATEGIA
a) Usiamo la condizione di equilibrio Fs = P// per determinare Fs.
b) Usiamo la relazione Fs,max = µs * F⊥ per determinare µs
SOLUZIONE
a) Calcoliamo la componente della forza peso parallela al pianale:
P// = mg * sen θ = 95 Kg * 9,81 N/Kg * sen 20° = 931,95 N * 0,34 = 319
Poichè la cassa è ferma, Fs = P// e quindi Fs = 319 N
b) Calcoliamo la componente della forza peso parallela al pianale, quando questo è inclinato di 32°:
P// = mg * sen θ = 95 Kg * 9,81 N/Kg * sen 32° = 931,95 N * 0,53 = 494 N
Poichè la cassa comincia a muoversi, la forza massima di attrito statico è Fs,max = 494 N
Calcoliamo la componente della forza peso perpendicolare al pianale:
F⊥ = P⊥ = mg * cos θ = 95 Kg * 9,81 N/Kg * cos 32° = 931,95 N * 0,85 = 790 N
Dalla relazione Fs,max = µs * F⊥ ricaviamo µs
µs = Fs,max / F⊥ = 494 N / 790 N = 0,695
PROBLEMA 2 L'attrito della cassa
Se il pianale dell'autocarro non potesse inclinarsi più di 10°, quale valore minimo dovrebbe avere il coefficiente di attrito fra la cassa e il pianale?
SOLUZIONE
Poichè dobbiamo supporre che la cassa comincia a muoversi quando il pianale è inclinato di 10°, la forza massima di attrito statico è Fs,max sarà la seguente:
P// = mg * sen θ = 95 Kg * 9,81 N/Kg * sen 10° = 931,95 N * 0,175 = 162 N
Stesso discorso per il calcolo della peso perpendicolare al pianale:
F⊥ = P⊥ = mg * cos θ = 95 Kg * 9,81 N/Kg * cos 10° = 931,95 N * 0,985 = 918 N
Di conseguenza:
µs = Fs,max / F⊥ = 162 N / 918 N = 0,176
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4. L'EQUILIBRIO DEI SOLIDI L'equilibrio dei corpi è oggetto di quella parte della fisica classica chiamata statica. Studieremo le condizioni di equilibrio dei corpi solidi; inizieremo considerendo i punti materiali, per poi estendere il discorso ai corpi rigidi.
4.01 - L'equilibrio statico
Se un corpo inizialmente fermo continua a rimanere fermo, diremo che quel corpo è in equilibrio statico. Vale quindi la definizione:
Equilibrio statico
Un corpo è in equilibrio statico se è in quiete e vi rimane permanentemente.
Dobbiamo stabilire prima un importante distinzione tra punti materiali e corpoi estesi
Punti materiali, corpi estesi, corpi rigidi
Punto materiale
Un punto materiale è un oggetto le cui dimensioni sono trascurabili rispetto a quello dello spazio in cui si muove e la cui struttura interna è irrilevante per la descrizione del suo moto.
Come dice il nome, un punto materiale può essere rappresentato come un punto geometrico dotato di massa.
Corpo esteso
Un corpo esteso è un oggetto le cui dimensioni e la cui struttura NON possono essere trascurate, perchè influenzano il suo moto.
Vi è un ulteriore differenza tra punti materiali e corpi estesi.
Mentre i primi possolo solo spostarsi da una posizione all'altra, soggetti SOLO amoto traslatorio,
i secondi possono anche ruotare attorno a un asse, cioè hanno anche un moto rotatorio.
La sistinzione tra punti materiali e corpi estesi non è assoluta>.
Non esistono oggetti che siano in senso assoluto punti materiali o corpi estesi (ci sono ad ESEMPIO gli elettroni in realtà che sono puntiformi e privi di struttura interna).
Lo stesso oggetto può comportarsi talvolta come entrambi.
un ESEMPIO è la pallina da tennis che nel momento in cui è colpita da una racchetta va considerata come un corpo estesom poichè l'impatto con le corde della racchetta la deforma.
Quando è in volo, se si muove solo di moto transitorio, è un punto materiale, se invece il tennista gli da un effetto rotatorio la palla traslerà e ruoterà e andrà trattata come un corpo esteso.
Tra i corpi estesi, prenderemo in considerazione solo quelli che non si deformano: i corpi rigidi.
Corpo rigido
In un corpo rigido la distanza tra due punti qualsiasi rimana invariata
Oltre all'equilibrio statico esiste anche l'equilibrio dinamico: un punto materiale è in equilibrio dinamico quando si sposta con velocità costante, mentre un corpo esteso è in equilibrio dinamico
quando si sposta e ruota con velocità costante.
D'ora in poi per equilibrio intenderemo sempre equilibrio statico.
4.02 - L'equilibrio di un punto materiale
Condizione generale di equilibrio di un punto materiale
Un punto materiale è in equilibrio se è fermo, cioè se la risultante R delle forze che agiscono su di esso è uguale a zero:
R = 0
Un computer sulla scrivania ho un lampadario appesso al soffitto sono due ESEMPI di punti materiali in equilibrio.
Entrmabi sono soggetti alla forza peso diretta verso il basso, ma sono vincolati a restare fermi da altri oggetti, la scrivania e il tassollo fissato al soffitto.
Questi ultimi due sono ESEMPI di vincolo e la forza che essi esercitano è una reazione vincolare.
Vincolo e reazione vincolare
Un vincolo è un corpo che impedisce ad altri corpi di compiere alcuni movimenti, esercitando su di essi una forza Fv chiamata reazione vincolare.
Altri ESEMPI comuni di vincoli sono il pavimento sul quale camminiamo, un chiodo al quale è appeso un quadro, il cardine di una porta, ...
a) L'equilibrio su un piano orizzontale
Consideriamo un barattolo appoggiato su un tavolo. Poichè il barattolo è fermo, cioè è in equilibrio statico, la forza risultante R che agisce su di esso deve essere nulla.
Quindi la sua forza peso P, diretta verso il basso, deve essere compensata da una forza verso l'alto esercitata dal tavolo, perpendicolare alla superficie del tavolo.
Tale forza, indicata con F⊥, viene detta forza o reazione normale, perchè è normale, cioè perpendicolare, alla superficie del piano.
La forza normale è dovuta all'interazione fra gli atomi di un solido che tendono a opporsi alle variazioni di forma del solido stesso.
Quando il barattolo è posto sul tavolo, infatti, causa un impercettibile compressione della superficie del tavolo, simile alla compressione di una molla e, proprio come
una molla, il tavolo esercita una forza per opporsi alla compressione. Quindi, maggiore è il peso dell'oggetto posto sul tavolo, maggiore è la forza normale esercitata
dal tavolo per opporsi alla compressione.
La forza normale F⊥ che il tavolo esercita è la reazione vincolare Fv.
Imponiamo la condizione di equilibrio: in questo caso le forze sono dirette verso l'alto e una verso il basso, in direzione perpendicolare al tavolo.
La risultante R è data dalla somma vettoriale della forza peso e della reazione vincolare:
R = P + Fv
Poichè R = 0, abbiamo:
P + Fv cioè: Fv = – P
Consideriamo ora il caso in cui sul barattolo agisce una forza F diretta verso il basso, ad ESEMPIO quella esercitata dalla nostra mano.
La risultante in questo caso è:
R = P + F + Fv
da cui, imponendo la condizione R = 0, si ottiene:
P + F + Fv = 0 cioè: Fv = – (P + F)
La reazione vincolare come si vede è maggiore del peso del parattolo ed è uguale e opposta a P + F, che è la forza premente Fp sulla superficie:
Fv = – Fp
In generale quindi:
Reazione vincolare Fv
La reazione vincolare Fv esercitata da una superficie è uguale e opposta alla forza premente Fp che agisce sulla superfice:
Fv = – Fp
Se le forze che agiscono su un punto materiale hanno direzioni diverse, la condizione di equilibrio rihiede che entrambe le componenti cartesiane della risultante R siano nulle, cioè:
Rx = 0
Ry = 0
Ad ESEMPIO, consideriamo il caso in cui sul barattolo agiscono due forze, una orizzontale F1, esercitata da una mano che spinge verso destra, e una inclinata di 30° rispetto alla
superficie del tavolo, F2, esercitata da una mano che spnge in direzione inclinata verso il basso.
Scegliamo il sistema di assi come in figura sopra e scriviamo le componenti delle forze nelle direzioni x e y:
F1x = F1
F1y = 0
F2x = – F2 cos 30°
F2y = – F2 sen 30°
Le componenti della risultante R delle forze sono:
Rx = F1x + F2x
Ry = F1y + F2y + P + Fv
Se il barattolo è fermo le componenti Rx e Ry devono essere entrambe NULLE, quindi la condizione di equilibrio è:
Rx = 0 → F1x = – F2x
Ry = 0 → Fv = – (P + F1y + F2y)
Tenendo conto delle espressioni delle componenti delle forze, la condizione in questo cosa specifico si può scrivere:
F1 = – F2x
Fv = – (P + F2y)
PROBLEMA 1 Il blocco di ghiaccio
Un blocco di ghiaccio di 6 Kg è spinto da due ragazzi che esercitano due forze F1 e F2.
Se l'intensità delle forze è F1 = F2 = 12 N, determina la reazione vincolare esercitata dal tavolo sul blocco.
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA La figura mostra la scelta del sistema di coordinate e tutte le forze che agiscono sul blocco di ghiaccio.
Notiamo chge F1 ha la componente x positiva e la componente y negativa, F2 ha la componente x e la componente y entrambe negative.
Il peso P e la reazione vincolare Fv hanno soltanto componenti in direzione y.
In dicando con m la massa del blocco, il suo peso è P = – m * g
STRATEGIA Per calcolare la reazione vincolare Fv imponiamo la condizione di equilibrio lungo l'asse y:
Rx = 0 → Fv + (P + F1y + F2y) = 0
SOLUZIONE Scriviamo le componenti y delle forze F1 e F2:
F1y = – F1 * sen 45° = – (12 N) * 0,7 = – -8,5 N
F2y = – F2 * sen 45° = – (12 N) * 0,7 = – -8,5 N
Calcoliamo il peso del blocco:
P = – m * g = – (6 Kg)*(9,81 N/Kg) = – 59 N
Sommiamo le componenti y di tutte le forze:
Ry = F1y + F2y + P + Fv = – 8,5 N – 8,5 N – 59 N + Fv = – 76 N + Fv
Poniamo questa somma uguale a zero:
– 76 N + Fv = 0
Infine ricaviamo la reazione vincolare:
Fv = 76 N
OSSERVAZIONI La condizione di equilibrio lungo l'asse x, Rx = 0 → F1x + F2x = 0 è ovviamente soddisfatta, come possiamo facilmente verificare. Infatti:
F1x = F1 * cos 45°
F2x = – F2 * cos 45°
è poichè F1 = F2 otteniamo:
F1x + F2x = F1 * cos 45° – F1 * cos 45° = 0
PROBLEMA 2 Il blocco di ghiaccio
Quanto vale la reazione vincolare se l'intensità dele forze F1 ed F2 è 7,1 N?
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Problema identico al precedente.
STRATEGIA Per calcolare la reazione vincolare Fv imponiamo la condizione di equilibrio lungo l'asse y:
Rx = 0 → Fv + (P + F1y + F2y) = 0
SOLUZIONE Scriviamo le componenti y delle forze F1 e F2:
F1y = – F1 * sen 45° = – (7,1 N) * 0,7 = – -5 N
F2y = – F2 * sen 45° = – (7,1 N) * 0,7 = – -5 N
Calcoliamo il peso del blocco:
P = – m * g = – (6 Kg)*(9,81 N/Kg) = – 59 N
Sommiamo le componenti y di tutte le forze:
Ry = F1y + F2y + P + Fv = – 5 N – 5 N – 59 N + Fv = – 69 N + Fv
Poniamo questa somma uguale a zero:
– 69 N + Fv = 0
Infine ricaviamo la reazione vincolare:
Fv = 69 N
b) L'equilibrio su un piano inclinato
Finora abbiamo preso in considerazione superfici orizzontali, per le quali la reazione vincolare è verticale. In un piano inclinato, invece, la reazione vincolare
è inclinata rispetto alla verticale.
Consideriamo un corpo appoggiato su un piano inclinato:
Quando si deve fissare un sistema di coordinate per un piano inclinato, è generalmente preferibile scegliere gli assi x e y rispettivamente parallelo e
perpendicolare alla superfcie stessa. Con questa scelta del sistema di coordinate non c'è alcun moto in direzioney e la reazione vincolare Fv punta nel verso positivo delle y.
Se la superficie del piano è inclinata di un angolo θ, le componenti del peso P lungo gli assi sono:
Px = P * sen θ
Py = – P * cos θ
La condizione Rx = 0 equivale a:
Rx = 0
Ry = 0
Le condizioni Rx = 0 richiede che la componente x del peso Px = P * sen θ, sia compensata da una forza opposta, che nel caso mostrato in figura è la forza di attrito statico Fs:
Rx = 0 → P * sen θ – Fs = 0 → Fs = P * sen θ
Le condizioni Ry = 0 richiede che la componente y del peso Py = P * cos θ, sia compensata dalla reazione vincolare Fv, perpendicolare al piano inclinato:
Ry = 0 → Fv – P * cos θ = 0 cioè Fv = P * cos θ
ESERCIZIO 1
Un leone marino di massa m = 4,5 * 102 Kg è fermo su una rampa inclinata di un angolo θ = 12°.
Calcola l'intensità della reazione vincolare e della forza di attrito statico sull'animale.
SOLUZIONE Il peso del leone marino è:
P = (450 Kg) * (9,81 N/Kg) = 4400 N
Se il leone marino è fermo, la reazione vincolare Fv è uguale alla componente Py:
Fv = P * cos θ = 4400 N * cos 12° = 4400 * 0,98 = 4300 N
Se il leone marino è fermo, la forza di attrito statico su di esso è uguale alla componente Px:
Fs = P * sen θ = 4400 N * sen 12° = 4400 * 0,21 = 914 N
c) L'equilibrio di un corpo appeso
Supponiamo di prendere un pezzo di corda sottile e di tirare uno degli estremi verso destra con una forza T e l'altro verso sinistra con la stessa forza.
La corda si tende e diremo che in essa c'è una tensione T.
Più precisamente, se tagliassimo la corda in un punto qualsiasi, la tensione T sarebbe la froza necessaria a tenere assieme le due parti:
Notiamo che, in un qualsiasi punto della corsa, la tensione è la stessa a destra e a sinistra e, se la corda ha una massa trascurabile, la tensione è la stessa in ogni punto.
Consideriamo ora una corda attaccata con un estremo al soffitto e con l'altro a una scatola di peso P. La corda agisce da vincolo, mantenendo la scatola ferma:
Per la condizione generale di equilibrio, la tensione nel punto in cui è attaccata la scatola deve essere uguale al peso della scatola stessa:
T = P
La tensione sul soffitto è diretta verso il basso ed è bilanciata dalla reazione vincolare Fv del soffitto:
T = Fv
Possiamo verificare facilmente che la forza vincolare ha la stessa intensità del poso del corpo appendendo il corpo a un dinamometro.
Spesso per modificare la direzione della forza esercitata da una corda, vengono utilizzate delle carrugole. Nel caso ideale, una carrucola non ha massa, ne attriti negli ingranaggi.
Una carrucola ideale cambia semplicemente la direzione della tensione in una corda, senza modificare la sua intensità:
Vediamo un altro caso: una persona regge un secchio d'acqua, utilizzando una funa che scorre su una carrucola. Se il secchio è fermo, qual è la tensione T1 nella fune
attaccata al secchio e qual è la tensione T2 nel cavo che sostiene la carrucola?
Poichè il secchio e la carrucola sono in equilibrio, la forza risultante su ciascuno di essi deve essere zero.
Nel figura vediamo che sul secchio agiscono due forze: il peso P diretto verso il basso e la tensione T1, diretta verso l'alto.
La condizione di equilibrio è:
T1 – P = 0 → T1 = P
Quindi la tensione e il peso devono avere la stessa intensità.
Notiamo che questa è anche l'intensità della forza che la persona deve esercitare sulla fune verso il basso, come ci aspettavamo.
Nella figura vediamo che sulla carrucola agiscono TRE forze: la tensione T2 nel cavo, diretta verso l'alto, le tensione T1 nella parte di fune attaccata al secchio,
verso il basso, e la tensione T1 nella parte di fune tirata dalla persona, verso il basso.
Non abbbiamo incliso il peso della carrucola, perchè la consideriamo ideale, cioè priva di massa.
La risultante delle forze deve essere NULLA:
T2 – T1 – T1 = 0 → T2 = 2 * T1 = 2 * P
La tensione T2 nel cavo che sostiene la carrucola è quindi il doppio del peso del secchio.
ESERCIZIO 1
Un blocco di massa m = 2,5 Kg è appesso a una carrucola e collegato a una molla di costante elastica k = 280 N/m.
Calcola la tensione T nella corda in condizioni di equilibrio, l'allungamento della molla e la reazione vincolare Fv del soffitto.
La tensione T nella corda è uguale al peso P del blocco, quindi:
T = P = 2,5 Kg * 9,81 N/Kg = 25 N
Anche la forza elastica della molla è uguale alla tensione nella corda, cioè Fe = 25 N, e quindi l'allungamento della molla è:
x = Fe / k = 25 N / 280 N/m = 0,089 m = 8,9 cm
In condizioni di equilibrio Fv – P – Fe = 0 quindi la reazione vincolare del soffitto è:
Fv = P + Fe = 2P = 50 N
ESERCIZIO 2
Il vaso appeso
Per appendere un vaso di fiori di 6,20 Kg un giardiniere inclina due cavi, uno fissato orizzontalmente e una parete,
l'altro agganciato al soffitto in modo da formare un angolo θ = 40° rispetto all'orizozntale.
Determina la tensione di ciascun cavo.
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Scegliamo il consueto sistema di coordinate, con l'asse x positivo verso destra e l'asse y positivo verso l'alto.
Con questa scelta, la tensione T1 è diretta nel verso positivo delle x, il peso P è diretto nel verso negativo delle y
e la tensione T2 ha la componente x negativa e la componente y positiva.
Le componenti di ciascuna forza agente sul vaso sono:
STRATEGIA Il vaso è fermo, quindi la forza risultante R che agisce su di esso è uguale a zero.
Si ha pertanto Rx = 0 ed Ry = 0 .
Quest due condizioni permettono di determinare l'intensità delle due tensioni T1 e T2.
SOLUZIONE Consideriamo l'asse x e impogniamo la condizione Rx = 0.
Questa condizione fornisce una relazione tra T1 e T2:
Rx = 0 → T1x + T2x + Px = T1 + (-T2 * cos θ) + 0 = 0
T1 = T2 * cos θ
Consideriamo l'asse y e imponiamo la condizione Ry = 0; questa volta la condizione permette di determinare T2 in funzione del peso mg:
Ry = 0 → T1y + T2y + Py = T2 + sen θ) + (-mg) = 0
T2 sen θ = mg
Utilizziamo la relazione precedente per determinare T2:
T2 = mg / sen θ = (6,2 Kg * 9,81 N/Kg) / sen 40° = 61 / 0.64 = 94,6 N
Utilizziamo la relazione tra le due tensioni per determinare T1:
T1 = T2 * cos θ = 94,6 N * cos 40° = 94,6 * 0.77 = 72,5 N
OSSERVAZIONI Anche se i cavi che tengono sospeso il vaso sono due, entrambi hanno una tensione maggiore del peso del vaso, mg=60,8N.
Quando un oggetto è appeso a un cavo, è possibile che la tensione nel cavo sia molto più grande del peso dell'oggetto.
Ciò deve essere tenuto in considerazione da architetti e ingegneri quando progettano un edificio.
ESERCIZIO 2
Determina T1 e T2 nei casi in cui il secondo cavo forma con l'orizzontale un angolo:
a) θ = 20°
T2 = mg / sen θ = (6,2 Kg * 9,81 N/Kg) / sen 20° = 61 / 0.34 = 178 N
T1 = T2 * cos θ = (178 N) * cos 20° = 178 * 0.94 = 167 N
b) θ = 60°
T2 = mg / sen θ = (6,2 Kg * 9,81 N/Kg) / sen 60° = 61 / 0.87 = 70.2 N
T1 = T2 * cos θ = (702 N) * cos 60° = 70,2 * 0.5 = 35.1 N
c) θ = 90°
T2 = mg / sen θ = (6,2 Kg * 9,81 N/Kg) / sen 90° = 61 / 1 = 61 N
T1 = T2 * cos θ = (61 N) * cos 90° = 61 * 0 = 0 N
4.03 - L'equilibrio di un corpo rigido
Le forze applicate a un corpo esteso rigido possono imprimere al corpo un moto solo traslatorio oppure anche rotatorio.
Vediamo l'esempio di due studenti che spingono un banco
